Готуємось до олімпіад

    Задачі  на  зважування  та  переливання 

1.Маємо дві посудини місткістю  9л і 11л .Як, використовуючи їх ,налити з крана 

    10л води в 11-літрову посудину?

2.Серед 99 зовнішньо однакових монет маємо кілька фальшивих .Кожна 

   фальшива монета відрізняється по вазі від справжньої монети на непарне число 

   грамів .Сумарна вага 99 даних монет дорівнює сумарній вазі 99 справжніх

   монет . Маємо терези із стрілкою , яка показує різницю в грамах . Довести , що , 

   зробивши одне зважування , про будь-яку монету можна сказати , буде вона 

   фальшивою чи ні . 

3.Деякі з 20 металевих кубів , однакових за розміром і зовнішнім виглядом , 

   алюмінієві , решта – дюралеві (більш важкі ). Як за не більше 11 зважувань без 

   важелів виявити число дюралевих кубів .

4.Маємо 13 важелів , вага кожного з яких дорівнює цілому числу грамів . Відомо , 

   що будь-які 12 з них можна так розмістити на шальках терезів , по шість на  

   кожну ,  що настане рівновага . Довести , що всі гирі мають одну й ту ж саму

   вагу .

5.Маємо 555 важелів по 1г , 2г , 3г , 4г , ... , 555г .Розкласти їх на три рівні за 

   вагою купи .

6.Маємо 2 діжки нескінченно великої місткості . Чи можна , користуючись двома 

   ковшами , місткістю (2- )л і  л , перелити з однієї в другу рівно 1л . 

7.В  n мензурках влито  n  різних рідин , крім того маємо одну порожню мензурку.

   Чи можна за кінцеву кількість кроків скласти рівномірні суміші в кожній 

   мензурці (т.т. зробити так , щоб в кожній мензурці було рівно 1/n від початкової 

   кількості кожної рідини і при цьому одна мензурка була б порожньою ) .

   Мензурка має поділки , що дозволяють виміряти об’єм налитої рідини . 

8.Маємо 11 мішків з монетами та терези з 2 шальками і стрілкою , яка показує 

   який мішок важчий . Відомо , що в одному мішку всі монети фальшиві , а в 

   інших – всі монети справжні . Всі фальшиві монети мають однакову вагу , всі 

   справжні мають теж однакову вагу , тільки іншу . За яку найменшу кількість 

   зважувань можна визначити , в якому мішку фальшиві монети ? 

9.В наборі маємо 100 важелів , кожні дві з яких відрізняються по вазі не більше 

    ніж на 20 грамів . Довести , що ці важелі можна покласти на 2 шальки терезів , 

    по 50 шт. на кожну , так , щоб одна шалька терезів була легша за другу не 

    більше  ніж на 20 грамів .

10.На кожну шальку терезів поклали  k  важелів , занумерованих числами від 1 до

    k , при чому ліва шалька переважила . Виявилось , що якщо змінити на шальках 

   любі два важелі з однаковими номерами , то завжди або права переважує , або 

   шальки приходять в рівновагу . При яких  k    це можливо?  

11.Маємо 1000 монет , серед них 0 , 1 або 2 фальшиві . Відомо , що фальшиві 

   монети мають однакову вагу , відмінну від маси нефальшивих монет . Чи 

   можна  за 3 зважування на шалькових терезах без важелів виявити , чи є тут 

   фальшиві монети і чи легші вони чи важчі справжніх ? (Кількість фальшивих 

   монет виявляти не треба ).

12.Дани чотири однакові по виду кульки , масою 101г , 102г , 103г , 104г , а також 

   шалькові терези із стрілкою , на яких можна зважити довільний вантаж . 

   Зробивши  два зважування , виявити вагу кожної кульки .

13.Маємо кілька камінців , вага кожного не перевищує 2кг , а загальна вага 

   дорівнює 100кг . Серед них вибираємо кілька  камінців , сумарна вага яких 

   відрізняється від 10кг на найменше можливе для даного набору число d . Яке 

   максимальне значення може приймати число d для різних наборів камінців . 

14.Маємо 5 важелів . Їх маси дорівнюють 1000г , 1001г , 1002г , 1004г і 1007г , 

   але надписів на важелях немає і зовнішньо вони не відрізняються . Маємо 

   терези зі стрілкою , які показують масу в грамах . Як за допомогою трьох 

   зважувань виявити важіль в 1000г .  

15.В магазин привезли цистерну молока . У продавця є шалькові терези без 

   важелів , а також три однакові фляги , дві з яких порожні , а в третій налито 1л 

   молока . Як відлити в одну флягу рівно 85л молока , зробивши не більше 8 

   зважувань ? (Фляга вміщує більше 85л молока ).

16.Поділити  на дві рівні частини 12 відер води , що вміщуються в дванадцяти-

   відерній бочці , користуючись двома порожніми бочками : восьми- і п’яти-

   відерною . 

17.З 61 монети за 4 зважування виділити фальшиву (важчу за справжні ).

18.Серед трьох монет одна фальшива ( легша від двох інших однакових за вагою)

   За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.

19.Є 5 монет , серед яких одна фальшива ( невідомо , легша вона чи важча від 

   справжньої ). Вага справжньої монети 5г . Як за допомогою двох зважувань на 

   терезах можна виявити фальшиву монету , маючи одну гирю вагою 5г .

20.Маємо 9 монет . З них 8 однакові за вагою , а дев’ята –фальшива—легша від 

   інших . Маємо також двоє терезів ; одні з них точні , другі неточні . Якщо на 

   шальки неточних терезів покласти однакову кількість монет , то вони показують

   рівновагу , навіть якщо одна з монет фальшива . Якщо ж на одній із шальок 

   монет більше , то вона перетягує так само , як і на точних терезах . За зовнішнім 

   виглядом терези однакові . Яку найменшу кількість зважувань треба зробити , 

   щоб виявити фальшиву монету ?

6 клас

1. Усі трицифрові числа записані в рядок: 100101102…998999. Скільки разів у цьому ряду після двійки йде нуль?

2. Дорога від дому до школи займає в Андрійка 20 хвилин. Одного разу, йдучи до школи, він згадав, що забув вдома ручку. Якщо він тепер продовжуватиме йти до школи, то прийде за 3 хвилини до дзвоника, а якщо ж повернеться додому, то запізниться на 7 хвилин. Яку частину шляху пройшов Андрійко до того, як згадав про ручку?

3. Чи можна у кожну клітинку квадрата  записати ціле число так, щоб у будь-якому меншому квадраті, що складається більше, ніж з однієї клітинки, сума чисел була непарною?

7 клас

1. Нехай а, в, с – три різні цифри. Якщо додати всі шість двоцифрових чисел, які можна записати з їхньою допомогою, не повторюючи одну і ту саму цифру в числі двічі, то отримаємо 528. Знайдіть ці цифри.

2. Є три купки камінців: в першій – 10, в другій – 15, в третій – 20. Грають двоє. За один крок дозволяється розбити будь-яку купку на дві менші. Програє той, хто не може зробити крок. Хто виграє в такій грі? Відповідь обґрунтуйте.

3. Два туристи, маючи один велосипед, повинні за півтори години подолати шлях 12 км. Відомо, що на велосипеді кожен із них може рухатися зі швидкістю 20 км/год, а пішки – 5 км/год. Чи зможуть туристи пройти маршрут без запізнення, якщо на велосипеді одночасно вдвох їхати не можна? Відповідь обґрунтуйте.

4. Як, маючи лише дві посудини ємністю 5 л і 7 л, набрати із крана 6 л води (зайву воду можна виливати в раковину)?

8 клас

1. Знайдіть найменше ціле число x, яке задовольняє рівняння:

Іх-3І+2Іх+1І=4

2. Число а ділиться на 99. Доведіть, що сума його цифр не менша за 18.

3. В районі 15 шкіл. Доведіть, що як би не розподіляли між ними 90 комп’ютерів, то обов’язково знайдуться дві школи, яким припаде однакова кількість комп’ютерів (можливо й жодного).

4. Точку М відмітили на стороні АС рівностороннього трикутника АВС, а на продовженні сторони ВС за точку С відмітили точку N так, що BM=MN. Доведіть, що AM=CN.

5. Є 30 осіб, серед яких деякі знайомі між собою. Доведіть, що кількість осіб, які мають непарну кількість знайомих, парна.